回归：从直线到曲面
从已知房子的成交价，预测另一套房子值多少。
同一批 56 套模拟房子
教学模拟每个蓝点是一套已成交房子。面积用 ㎡，房龄用年，价格用万元。
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已成交房子预测直线待预测房子点选蓝点，查看这套房子的记录。
放入一套待预测的房子
沿面积找到线，读出价格
—万元
与这批已成交价平均相差
—万元
这是对已知数据的贴合程度。文字版：回归：从直线到曲面在做什么
回归要回答的是「给一个数，猜另一个数」：知道一套房子的面积和房龄，猜它值多少钱。这一页用同一批模拟成交记录，把直线、曲线、平面、曲面四种拟合方式摆在一起对比，让你看清「多加一个特征」和「让线弯起来」分别改变了什么。
画面上正在发生什么
蓝点是已成交的房子，横轴是面积，纵轴是成交价。拟合出的那条线不是画上去的，是按最小二乘法实时算出来的——它在找一条让所有点到线的竖直距离的平方和最小的线。打开「显示猜错的差距」，每个点到线的那一小段竖线就是它被猜错了多少。
切到三维，纵轴仍是价格，多出来的一个横轴是房龄。这时拟合出来的不再是线而是一个平面：价格同时随面积和房龄变化。切换直线与曲线时所有蓝点都留在原处，变的只是模型，不是数据。
什么时候它会骗你
- 曲线更贴合，不等于预测更准。页面上曲线对已知点的平均偏差确实比直线小，但那是对已经看过的点。次数调得越高，线越会绕着每个点走，把这批数据里的噪声也当成规律学了进去——换一批新房子往往更差。这就是过拟合，靠「拟合得好不好」这一个数字永远看不出来。
- 看不见的那些因素，都被塞进了系数里。模型只知道你给它的那几列。学区、楼层、朝向没有进来，它们的影响就会被硬摊到面积和房龄的系数上，让系数看起来比真实作用更大。
- 外推是另一回事。在已有点的范围内读数还算可靠；把面积拖到远超样本范围的地方，那一段线没有任何数据支撑，读出来的价格只是公式的延伸。
常见问题
- 拟合成曲线，就不是线性回归了吗？
- 不一定。「线性」指模型对待估计系数是线性的，不要求图像一定是直线。本页加入输入的平方、立方等特征后，虽然能拟合曲线，仍属于对系数线性的多项式回归。
- 为什么用平方误差而不是直接用差的绝对值？
- 平方误差便于求导，并会更重地惩罚较大的偏差；因此也更容易受离群点影响。系数解是否唯一取决于设计矩阵是否满列秩，不能仅凭损失可导就保证唯一或稳定。
- 多加一个特征，模型一定变好吗？
- 对已知数据的贴合程度只会变好或持平，永远不会变差——这正是不能只看它的原因。真正要看的是在没参与训练的数据上表现如何，例如本站「交叉验证」那一页的做法。
参考资料
本页为教学模拟数据，价格、面积与房龄均非真实成交记录；拟合系数由页面按最小二乘法当场计算。